TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN EKUIVALEN

BAB 2

PEMBAHASAN

2.1       TAUTOLOGI

Ø   DEFINISI:

“ Suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai Benar (B) ”

§    Contoh: 1. Perhatikan tabel kebenaran dari ( p ˄ q )  q berikut ini :

p	q	( p ˄ q )	( p ˄ q) ⟹ q
B	B	B	B
B	S	S	B
S	B	S	B
S	S	S	B

Selalu bernilai Benar

(Termasuk TAUTOLOGI)

2.2       KONTRADIKSI

Ø   DEFINISI :

“ Suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai Salah (S) ”

§    Contoh: 2. Perhatikan tabel kebenaran dari [( p q ) ˄ p] ˄ ~q berikut ini :

p	q	~q	( p q )	[( p q ) ˄ p]	[( p q ) ˄ p] ˄ ~q
B	B	S	B	B	S
B	S	B	S	S	S
S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	S

Selalu bernilai Salah

(Termasuk KONTRADIKSI)

2.3       PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

Ø   DEFINISI:

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen (setara) jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran. Ekuivalen (setara) dilambangkan dengan “≡”.

§    Contoh : 3. Tabel kebenaran berikut ini menunjukkan bahwa~(p ˅ q) ≡ ~p ˄ ~q

p	q	~p	~q	p ˅ q	~(p ˅ q)	~p ˄ ~q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	B	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	B

EKUIVALEN                                                                    

§    Contoh : 4. Tabel kebenaran (p ˅ q) ˅ r ≡ p ˅ (q ˅ r)

p	q	r	(p ˅ q)	(p ˅ q) ˅ r	(q ˅ r)	p ˅ (q ˅ r)
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B
B	S	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S	B
S	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	B
S	S	B	S	B	B	B
S	S	S	S	S	S	S

                                                                        EKUIVALEN

Banyak baris yang memuat nilai kebenaran pada tabel kebenaran suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh banyak pernyataan komponen yang berbeda dalam pernyataan majemuk itu.

Secara umum dapat disimpulkan :

	Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyak baris pada tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah 2n

 

Ø   BENTUK – BENTUK LOGIKA YANG EKUIVALEN :

Berikut ini :

1.      Hukum Komutatif :

1)   p ˄ q ≡ q ˄ p

2)   p ˅ q ≡ q ˅ p

2.      Hukum Asosiatif :

1)   (p ˄ q) ˄ r ≡ p ˄ ( q ˄ r)

2)   (p ˅ q) ˅ r ≡ p ˅ (q ˅ r)

3.      Hukum Distributf :

1)   p ˄ (q ˅ r) ≡ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)

2)   p ˅ (q ˄ r) ≡ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

4.      Hukum de Morgan :

1)   ~(p ˄ q) ≡ ~p ˅ ~q

2)   ~(p ˅ q) ≡ ~p ˄ ~q

3)   ~(p ⟹ q) ≡ p ˄ ~q

4)   p ⟹ q ≡ ~p ˅ q

v  Contoh Tautologi :

1.      Pernyataan p ˅ ~q merupakan tautologi :

Jawab:

Untuk membuktikan pernyataan ini merupakan tautologi, kita buat tabel kebenarannya.

p	~p	p ˅ ~p
B	S	B
S	B	B

2.      Tabel kebenaran dari q ⟹ (p ˅ q) adalah. . .

Jawab:

p	q	( p ˅ q)	q ⟹ (p ˅ q)
B	B	B	B
B	S	B	B
S	B	B	B
S	S	S	B

Terlihat bahwa nilai kebenaran pernyataan q ⟹ (p ˅ q) = BBBB (selalu benar), sehingga pernyataan ini merupakan Tautologi.

3.      Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk (p ˄ q) ⟹ (p ˅ q) merupakan suatu tautologi.

Jawab :

Untuk membuktikan apakah (p ˄ q) ⟹ (p ˅ q) adalah suatu tautologi, kita buat tabel kebenarannya.

p	q	p ˄ q	p ˅ q	(p ˄ q) ⟹ (p ˅ q)
B	B	B	B	B
B	S	S	B	B
S	B	B	B	B
S	S	S	S	B

Pada kolom yang paling kanan dari tabel di atas, nampak bahwa (p ˄ q)⟹(p ˅ q) selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Oleh  karena itu, pernyataan (p ˄ q) ⟹ (p ˅ q) adalah suatu Tautologi.

4.      Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk [(p ⟹ q) ˄ ~p] ⟹ ~p adalah sebuah tautologi.

Jawab :

Perhatikan tabel kebenaran berikut ini :

p	q	~p	(p ⟹ q)	(p ⟹ q) ˄ ~p	[(p ⟹ q) ˄ ~p] ⟹ ~p
B	B	S	B	S	B
B	S	S	S	S	B
S	B	B	B	B	B
S	S	B	B	B	B

Jadi pernyataan majemuk [(p ⟹ q) ˄ ~p] ⟹ ~p adalah sebuah Tautologi.

5.      a. Lengkapilah tabel kebenaran [(p ⟹ q) ˄ (q ⟹ r)] ⟹ (p ⟹ r) berikut :

p	q	r	p⟹q	q⟹r	p⟹r	(p ⟹ q) ˄ (q ⟹ r)	[(p ⟹ q) ˄ (q ⟹ r)] ⟹ (p ⟹ r)
B	B	B
B	B	S
B	S	B
B	S	S
S	B	B
S	B	S
S	S	B
S	S	S

b. berdasarkan tabel kebenaran yang diperoleh pada soal a., apakah pernyataan majemuk  [(p ⟹ q) ˄ (q ⟹ r)] ⟹ (p ⟹ r) sebuah tautologi?

6.      Pernyataan berikut yang merupakan tautologi adalah . . .

a.       ~(p ˅ q) ⟹ q

b.      (p ˄ ~p) ˄ q

c.       (p ˄ ~p) ⟹ q

d.      (~p ˅ q) ⟹ q

e.       (p ˅ q) ˅ p

Jawab : c.

Perhatikan tabel berikut :

p	q	~p	(p ˄ ~p)	(p ˄ ~p) ⟹ q
B	B	S	S	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

7.      Tabel kebenaran dari (q ⟹ r) ⟹ [(p ˅ q) ⟹ (p ˅ r) adalah. . .

a.       BBBSSSSS

b.      BSBSBSBS

c.       BSSSSSSS

d.      BBBBBBBB

e.       SSSSSSSS

Jawab : d.

Perhatikan tabel berikut :

p	q	r	(q ⟹ r)	(p˅q)	(p˅r)	(p ˅ q) ⟹ (p ˅ r)	(q ⟹ r) ⟹ [(p ˅ q) ⟹ (p ˅ r)]
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	B	B	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	S	B	S	S	B
S	S	B	B	S	B	B	B
S	S	S	B	S	S	B	B

v  Contoh  Kontradiksi :

1.      Buktikan pernyataan berikut merupakan kontradiksi :

~q ˄ q

Tabel kebenaran

q	~q	~q ˄ q
B S	S B	S S

2.      Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk q ˄ (p ˄ ~q) merupakan suatu kontradiksi.

Jawab :

Tabel kebenaran dari q ˄ (p ˄ ~q) adalah sebagai berikut :

p	q	~q	p ˄ ~q	q ˄ (p ˄ ~q)
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	S S S S

Pada kolom yang paling kanan dari tabel di atas, tampak bahwa q ˄ ( p˄~q ) selalu berniat salah untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Oleh karena itu, pernyataan q ˄ (p˄~q) adalah suatu kontradiksi.

3.      Buktikan pernyataan (~p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q) adalah suatu kontradiksi

Jawab :

Tabel kebenaran dari (~p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q) sebagai berikut :

p	q	~p	~q	(~p ˄ q)	(~p ˄ ~q)	(~p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q)
B	B	S	S	S	S	S
B	S	S	B	S	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	S

4.      Buktikan bahwa pernyataan (p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q) adalah kontradiksi

Jawab :

Tabel kebenaran :

p	q	~p	~q	(p ˄ q)	(~p ˄ ~q)	(p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q)
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	S	S
S	B	B	S	S	S	S
S	S	B	B	S	B	S

5.      Tunjukkan bahwa pernyataan (p ˄ q) ˄ (p ⟹ ~q) merupakan kontradiksi : (dengan tabel kebenaran)

Jawab :

p	q	~q	(p ˄ q)	(p ⟹ ~q)	(p ˄ q) ˄ (p ⟹ ~q)
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	S
S	B	S	S	B	S
S	S	B	S	B	S

Pada kolom paling kanan dari tabe, tampak bahwa (p ˄ q) ˄ (p ⟹ ~q) selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan (p ˄ q) ˄ (p ⟹ ~q) adalah suatu kontradiksi.

6.      Selesaikan pernyataan dari (p ˄ q) ˄ ~(p ˅ q) menggunakan tabel kebenaran .

p	q	(p ˄ q)	(p ˅ q)	~(p ˅ q)	(p ˄ q) ˄ ~(p ˅ q)
B	B
B	S
S	B
S	S

Apakah pernyataan (p ˄ q) ˄ ~(p ˅ q) merupakan kontradiksi?

v  Contoh pernyataan majemuk yang ekuivalen :

1.      Buatlah pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan berikut :

Jika air laut pasang maka tiang dermaga tenggelam.

Jawab :

p = jika air laut pasang

q = tiang dermaga tenggelam

p ⟹ q ≡ ~p ˅ q

Bukti :

p	q	~p	~q	p ⟹ q	~p ˅ q
B	B	S	S	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	B	S	B	B
S	S	B	B	B	B

Jadi air laut tidak pasang atau tiang dermaga tenggelam

2.      Dengan menggunakan tabel kebenaran, selidikilah apakah pernyataan–pernyataan berikut ekuivalen.

a)    p ˄ (~p ˅ q) dengan p ˄ q

b)   p ˄ (q⟹r) dengan (p ˄ q) ⟹ (p ˄ r)

Jawab :

a)    p ˄ (~p ˅ q) dengan p ˄ q

p	q	~p	p ˄ q	~p ˅ q	p ˄ (~p ˅ q )
B B S S	B S B S	S S B B	B S S S	B S B B	B S S S

 

Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran p ˄ q sama dengan nilai kebenaran p ˄ ( ~p ˅ q). Jadi, dapat di simpulkan bahwa p ˄ ( ~p ˅ q ) ≡ p ˄ q.

b)   p ˄ ( q →⟹ r ) dengan ( p ˄ q ) ⟹ ( p ˄ r )

p	q	r	p ˄ q	p ⟹ r	q ⟹ r	p ˄ (q r )	( p ˄ q ) ⟹ ( p ˄ r )
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S S S S S	B S B S S S S S	B S B B B S B B	B S B B S S S S	B S B B B B B B

 

Pada tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran p ˄ ( q⟹ r ) tidak sama dengan nilai kebenaran ( p ˄ q ) ⟹ ( p ˄ r ). Jadi , dapat di simpulkan bahwa p ˄ ( q ⟹ r ) tidak ekuivalen dengan ( p ˄ q ) ⟹ ( p ˄ r ).

3.      Pernyataan majemuk, “jika hari ini hujan, sungai meluap”. Ekuivalen dengan pernyataan

a.       Hari hujan dan sungai meluap

b.      Hari tidak hujan dan sungai tidak meluap.

c.       Jika sungai tidak meluap, hari tidak hujan.

d.      Jika sungai tidak meluap, hari hujan.

e.       Jika hari tidak hujan, sungai tidak meluap.

Dari pernyataan diatas jawabannya adalah c.

Bukti : p→q ≡ ~q → ~p

p	q	~p	~q	p→q	~q → ~p
B	B	S	S	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	B	S	B	B
S	S	B	B	B	B

          ekuivalen

4.      Tunjukkan bahwa : (dengan tabel kebenaran)

 ≡ (  ˅  )

Jawab :

p	q			p ˄ q		˅
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	S	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

ekuivalen

 

5.      Buktikan bahwa pasangan pernyataan p ⟹ q dan ~p ˅ q ekuivalen.

Jawab :

p	q	~p	p ⟹ q	~p ˅ q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

Dengan memperhatikan kolom ke-4 dan ke-5 pada tabel di atas, nilai kebenaran dari p ⟹ q ≡ ~p ˅ q (terbukti).

6.      ~( p ˄ q) ≡ ~p ˅ ~q

Jawab :

p	q	~p	~q	p ˄ q	~(p ˄ q)	~p ˅~q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	S	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

Kesimpulan terbukti bahwa pernyataan ~( p ˄ q) ≡ ~p ˅ ~q ekuivalen

7.      Buatlah tabel kebenaran pernyataan majemuk berikut :

p ˅ (p ˄ q) ≡ p

jawab :

p	q	(p ˄ q)	p ˅ (p ˄ q)
B	B	B	B
B	S	S	B
S	B	S	S
S	S	S	S

8.      Tunjukkanlah bahwa : (dengan tabel kebenaran)

(p ˄ q) ˄ r ≡ p ˄ (q ˄ r) (hukum assosiatif)

p	q	r	(p ˄ q)	(p  q) ˄ r	(q ˄ r)	p ˄ (q ˄ r)
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	S	S	S
B	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	S	B	S
S	B	S	S	S	S	S
S	S	B	S	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S

Apakah selalu sama? ......

Lingkarilah nilai kebenaran yang sama !

Jadi (p ˄ q) ˄ r ≡ p ˄ (q ˄ r)                                 (terbukti)

LATIHAN !

1.      Tentukan dengan tabel kebenaran pernyataan berikut yang merupakan tautologi dan kontradiksi

a.       [(p ˄ q) ˄ ~p]  q

b.      [(p ⟹ q) ˄ p] ˄ ~q

2.      Pernyataan p  q ekuivalen dengan . . .

a.       q  p

b.      ~p  ~q

c.       q ~q

d.      ~q p

e.       ~q  ~p

3.      Tunjukkanlah dengan tabel kebenaran bahwa p ˄ (q ˄ r)  (p ˄ q) ˄ r termasuk tautologi.

4.      Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa [p ˄ (q ˅ r)] ⟺ [(p ˄ q) ˅ (p ˄ r] merupakan tautologi.

5.      Buatlah pernyataan yang ekuivalen dengan “jika a ≠ 3 maka a² = 9

6.      Tunjukkanlah bahwa p ˅ q ≡ q ˅ p (dengan tabel kebenaran)

7.      Diketahui pernyataan-pernyataan berikut :

a.       ~p ˄ q ⟺ p ˄ ~q

b.      ~(p ˄ q) ⟺ ~p ˅ q

c.       ~(p ˅ q) ⟺ p ˅ ~q

d.      ~(p ˄ q) ⟺ p ˄ ~q

e.       (p ⟹ q) ⟺ p ˄ ~q

Pernyataan yang merupakan kontradiksi adalah . . .

8.      Buatlah pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan berikut :

Tidak benar bahwa saya senang makan bakso atau adik saya tidak suka manis “SUGUS”.

9.      Tunjukkan bahwa ~(p q) ≡ (p ˄ ~q)

10.  Buktikan pernyataan p ˄ (q ˅ r) ≡ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r) dari hukum distributif bahwa merupakan pernyataan majemuk yang ekuivalen.                                  

DAFTAR PUSTAKA

Santoso dono. “super genius matematika”.

Kuncoro Priyo & Ihsanuddin. “Siap Uji menghadapi UN SPMB”.

http://www.slideshare.net/JannahSkylady/modul-logikamatematika

http://elimciamistasik.wordpress.com/logika-matematika/

http://www.slideshare.net/AnastasiaJuwana/logika-matematika2

Siswanto. 2005. “matematika inovatif 1” . Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri