BAB 1
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakng Masalah
Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat kemudian dilanjutkan ke bilangan rasional sudah di perjelas dimuka,
dimana di peroleh sistim bilangan yang mana penjumlahan,
pengurangan, dan perkalian didefinisikan,
sedangkan pembagian juga didefinisikan dengan perkecualian pembagian dengan nol.
Dengan memperhatikan pada keempat operasi aritmatika
di atas, diperoleh hasil akhir yaitu sistim bilangan rasional,
yang rupa – rupanya sudah memenuhi segala kebutuhan manusia untuk di
gunakan dalam menghitung, mengukur, dan beberapa penggunaan yang lain. Benarkah demikian? Kita harus ingat bahwa ada beberapa titik kelemahan dalam sistim bilangan rasional
yang perlu di catat.
Sebagai contoh, di
dalam sistim bilangan rasional,
bilangan-bilangan tertentu tidak mempunyai akar kuadrat atau akar pangkat tiga ; contoh yang lain adalah persamaan-persamaan tertentu tidak mempunyai penyelesaian di dalam sistim bilangan rasional;
Banyak persamaan kuadrat
bx + c = 0 ( a
0 ), tidak mempunyai banyak penyelesaian dalam sistim bilangan rasional.
Misalnya saja persamaan kuadrat
– 2 = 0 tidak mempunyai penyelesaian dalam sistim bilangan rasional sebab tidak ada bilangan rasioanal
yang mana bila dikalikan dengan dirinya sendiri sama dengan
2.
Jadi, keperluan untuk memperluas bilangan rasional ke himpunan bilangan
yang baru (disebut bilangan real ) adalah sudah jelas.
Untuk tujuan ini,
kita pilih
desimal sebagai jalan untuk mengembangkan konsep
yang baru. Pernyataan desimal bilangan rasional akan segera
di bicarakan, kemudian perluasan menjadi bilangan
real.
1
B.
Rumusan Masalah
1.
Pengertian Desimal dan Bilangan Real ?
2.
Pembuktian Dalil-Dalil bilangan Real ?
C.
Tujuan
1.
Untuk mengetahui
pengertian Desimal dan bilangan Real.
2.
Untuk mengetahui Dalil-Dalil Bilangan Real.
2
BAB 2
PEMBAHASAN
1
1.
Desimal
Dalam mengubah pecahan menjadi desimal pecahan, digunakan koma desimal
yang diletakkan setelah angka satuan; sehingga jika penyebutnya 10, terdapat
satu angka disebelah kanan koma desimal
; jika penyebutnya 100, terdapat dua angka disebelah kanan koma desimal, dan seterusnya.
Contoh:
=
0,4
=
0,23
=
2,345
Untuk
mengubah bilangan rasional menjadi pecahan desimal adalah mudah bila pecahannya
mempunyai penyebut perpangkatan dari 10. Untuk proses ini, terdapat banyak
pengecualian. Misalnya pecahan-pecahan dri pecahan
yang penyebutnya tidak dapat diubah menjadi 10
karena tidak ada bilangan bulat yang apabila dikalikan 3 menghasilkan
perpangkatan dari 10.
Contoh:
=
=
.
= 6 .
= 0,6
3
Desimal
dapat di bagi menjadi 3 yaitu:
1.1
aritmetika desimal
Semua bilangan rasional mempunyai
pernyataan desimal.
Penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan rasional dapat diperluas
dengan mudah untuk desimal
pecahan. Sifat-sifat
komutatif, assosiatip, dan distributip memungkinkan menjalankan/mengerjakan
aritmetika desimal.
a. Penjumlahan
desimal
Contoh:
0,35 + 0,49 =
+
=
=
0,84
b. Perkalian desimal
Untuk mengalikan dua bilangan
desimal, masing-masing desimal kita ubah lebih dahulu menjadi
pecahan dengan penyebut perpangkatan dari 10.
Contoh:
(26,2) (0,03) =
.
=
=
=
0,786
c. Pembagian desimal
pembagian
pecahan decimal dapat dengan mudah diubah menjadi pembagian bilangan cacah.
Contoh:
Cara
1
106,08 : 1,7 =
=
=
=
62,4
4
Cara
2
62,4
8
1.2
Desimal Berulang (rasional)
Didalam bagian ini, akan kita bicarakan pernyataan desimal dari semua bilangan rasional
positif. Desimal
berulang disebut juga bilangan rasional
atau Bilangan yang bisa ditulis menjadi bentuk pecahan dengan a dan b merupakan bilangan bulat dan
hasil dari pecahan tersebut mempunyai angka-angka yang berulang teratur.
Contoh
1:
=
0,171171171
contoh
2:
kita
akan mencoba mencari pernyataan bilangan rasional dari 0,272727… , kita
misalkan bahwa N = 0,272727 …, dengan angka-angka berulang teratur adalah “27”.
Karena terdapat dua angka yang berulang terakhir, N kita kalikan dengan 100.
(jika terdapat 3 bilangan berulang terakhir, dikalikan 1000, dan setrusnya).
N = 0,272727
100
N = 27,2727
N =
0,2727
99
N = 27
5
Atau N =
=
Bila perhitungan di atas di cek
kembali dengan mengembalikan bilangan
ke
decimal akan terdapat:
0,2727
11
22
80
77
30
22
80
77
3
Bilangan rasional
Diskusi
di atas, sesungguhnya adalah dalil yang dinyatakan seperti dibawah:
Dalil
1
Setiap
bilngan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal dengan angka-angka yang berulang
teratur; sebaliknya, setiap pecahan desimal
yang angka-angkanya berulang teratur adalah bilangan rasional.
6
1.3
Bilangan irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan
rasional, bilangan ini bukan hasil bagi bilangan
bulat dari bilangan asli, dan juga tidak mempunyai bentuk desimal berulang.
contoh:
, dan sebagainya.
Misalkan
adalah penyelesaian
–
2 = 0. Dalam pembicaraan berikut akan dibahas pendekatan nilai dari
, dan akan ditunjukkan bahwa
adalah irasional. Karena
< 2 dan
=
4 > 2, maka kita setuju bahwa
berada diantara 1 dan 2
Definisi
1
Akar
pangkat dua dari suatu bilangan ditunjukkan dengan
,
adalah satu faktor
yang sama, yang hasil kalinya sama dengan n.
Menurut
definisi diatas
=
3 sebab 3.3 = 9
Karena
akar pangkat dua dari banyak bilangan rasional adalah bukan rasional tetapi
irasional kita memerlukan suatu algoritma untuk menentukan bilangan rasional
dari nilai pendekatan akar pangkat dua
salah satu algoritma yang termudah untuk dipelajari disebut “metode rata-rata “
yang langkah - langkahnya sebagai berikut:
1. Tentukan
estimasi dari nilai pendekatan itu tidak mengapa bila nilai estimasi ini
terlalu besar atau terlalu kecil
2. Dengan
menggunakan bilangan estimasi se
3. bagai
pembagi tentukan hasil bilangan yang di akar dengan bilangan estimasinya,
dengan angka decimal sebanyak yang kita kehendaki
4. Tentukan
nilai rata-rata dari bilangan estimasi dengan hasil bagi nilai rata-rata yang
diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari
5. Untuk
mendapatkan nilai pendekatan yang lebih baik gunakan nilai rata-rata yang
diperoleh sebagai estimasi kemudian ulangilah prosesnya (seperti langkah 2 dan
3).
Demikian seterusnya
sampai kita peroleh ketelitian yang kita kehendaki.
7
Contoh:
Tentukan nilai pendekatan
Jawab:
Karena
=
289 (pendekatan dari 294), kita pilih 17 sebagai estimasi kasar
=
17,3345
=
17,1672
=
17,1656997
Jadi 17,16 adalah nilai pendekatan
teliti sampai 2 tempat decimal. Jika proses
diatas kita teruskan :
=
17,166449
=
17,16645
Jadi 17,166 adalah nilai pendekatan
teliti sampai 3 tempat desimal.
8
PEMBAHASAN 2
2.
Bilangan real
Dalam
bagian ini, beberapa sifat bilangan real merupakan perluasan dari bilangan
rasional, semua sifat dalam sistim bilngan rasional harus dipenuhi dalam
bilangan real.
Sifat-sifat itu dipostulatkan dalam sistim bilangan real.
2.1
postulat-postulat pada sistim bilangan
real
1. Tertutup
terhadap operasi penjumlahan
a + b di definisikan tunggal dalam R, (R
= himpunan bilangan real)
2. Tertutup
terhadap operasi perkalian
a .b .di definisikan tunggal dalam R
3. Komutatip
terhadap operasi penjumlahan
a + b = b + a
4. Assosiatip
terhadap operasi penjumlahan
a + (b + c) = (a + b) + c
5. Komutatip
terhadap operasi perkalian
a . b = b .a
6. Assosiatip
terhadap operasi perkalian
a . (b . c) = (a . b) . c
7. Perkalian
distributip terhadap penjumlahan
a . (b + c) = a . b + a .c
8. Terdapat
unsur identitas penjumlahan
a + c = 0 + a = a (0 = unsur identitas
perkalian)
9. Terdapat
unsur identitas perkalian
a . 1 = 1 . a = a (1 = unsur identitas
perkalian)
10. Inversi
penjumlahan
-a + a = a + -a = 0 (-a = invers
penjumlahan a)
11. Invers
perkalian
a .
=
.
a = 1 (
≠ 0 invers perkalian)
9
12. Transitif
urutan
jika a > b dan b > c, maka a > c
13. Trikonomi
Di antara dua bilangan real a,b tentu terdapat
salah satu di antara hubungan-hubungan: a > b, atau a = b atau b < a.
14. jika
a > b maka a + c > b +c
15. jika
c > 0 dan a > b maka a . c > b .c
berdasarkan
postulat-postulat di atas
dapat dikembangkan dalil-dalil yang berlaku pada himpunan bilangan real.
dalil
1
dalil ketunggalan
a. jika
0 adalah unsur identitas penjumlahan, maka 0 adalah tunggal.
b. Jika
1 adalah unsur identitas perkalian, maka satu adalah tunggal
c. Jika
a ϵ R, maka inversi penjumlahan dari a yaitu –a, adalah tunggal
d. Jika
a ϵ R, maka inversi perkalian dari a yaitu
, adalah tunggal
a. Misallkan
unsur identitas penjumlahan tidak tunggal yaitu 0 dan c maka :
1. 0
+ c = 0 + c (refleksif kesamaan)
2. 0
+ c = c (postulat 5, 0 adalah unsure identitas)
3. 0
+ c = 0 (postulat 5, c adalah unsur
identitas)
4. C
= 0 (substitusi 2 dan 3 pada 1)
5. 0
adalah tunggal (karena c = 0)
b. Misalkan
unsur identitasas perkalian tidak tunggal yaitu1 dan I :
1. 1
. i = i . 1 (reflesif kesamaan)
2. 1
. I = 1 (postulat
6, 1 adalah unsur identitas perkalian)
3. I
. 1 = 1 (postulat
6, 1 adalah unsur identitas perkalian)
10
4. I
= 1 (substitusi 2 dan 3 pada 1)
5. 1
adalah tunggal (karena i =1)
c. Misalkan
invers a tidak tunggal, yaitu (-a) dan c :
1. a
+ c = 0 dan (postulat 5, -a dan c invers a)
a + (-a) = 0
2. a
+ c = a + (-a) (transitif
kesamaan)
3. (-a)
+ (a + c) = (assosiatip
penjumlahan)
(-a + a) + c
4. (-a
+ 0) = 0 + c (substitusi)
5. –a
+ 0 = 0 + c (postulat 4)
6. –a
dalah tunggal (karena –a = c)
d. Pembuktian
Definisi
2 Invers
perkalian dari a ϵ R yaitu
ϵ
R disebut juga kebalikan dari a.
Invers
penjumlahan dari a ϵ R yaitu –a ϵ R disebut juga lawan dari a.
2.2
Penjumlahan dan pengurangan bilangan
real
Terdapat
postulat yang berkaitan dengan penjumlahan yaitu :
1. Postulat
1 (tertutup)
2. Postulat
3 (komutatip)
3. Postulat
5 (assosiatip)
4. Postulat
8 (identitas penjumlahan)
5. Postulat
10 (invers penjumlahan)
Yang kemudian dapat dikembangkan /
diperluas menjadi dalil-dalil :
Dalil
2 : jika x , y ϵ R, maka (x + y) + -y = x
Bukti
:
1. X,
y ϵ R (diketahui)
11
2. –y
ϵ R (postulat invers +)
3. (x
+ y) + -y = x + (y + -y) (postulat assosiatip +)
4. Y
+ -y = 0 (postulat
invers)
5. (x
+ y) + -y = x + 0 (substitusi)
6. X
+ 0 = x (postulat
identitas =)
7. (x
+ y) + -y = x (transitif kesamaan)
Dalil
3 : dalil konselasi (penghapusan)
Jika x, y, z ϵ R dan x
+ y = z + y, maka x = z
Bukti
:
1. X,
y, z ϵ R (diketahui)
2. –y
ϵ R (invers)
3. X
+ y = z + y (diketahui)
4. (x
+ y) + -y = (z + y) + -y (penambahan
yang sama)
5. X
= z (dalil 2 dan substitusi)
Dalil
4 : jika a ϵ R dan a ≠ 0, maka –a ≠ 0
Bukti
:
1. –a
= 0 (asumsi)
2. a
+ a = a + 0 (penambahan yang sama)
3. a
+ 0 (identitas)
4. a
+ -a = a (transitif kesamaan)
5. a
+ -a = 0 (invers)
6. a
= 0 (substitusi)
pernyataan terakhir kontradiksi dengan
yang diketahui bahwa a ≠ 0 sehingga asumsinya salah dan -a ≠ o
dalil
5 : jika a ϵ R, maka –(-a) = a
bukti
:
1. a
ϵ R (diketahui)
12
2. –a
ϵ R (invers)
3. –(-a)
+ -a = 0 (invers)
4. a
+ -a = 0 (invers0
5. –(-a)
+ a –a = a + -a (substitusi)
6. –(-a)
= a (dalil
3)
Dalil
6 : jika a, b ϵ R , maaka aadaa bilangan real x yang
tunggal sehingga x + a = b
Dimana x = b + -a
Bukti:
untuk membuktikan dalil 6, pertama kali harus dibuktikan eksistensi dari
penyelesaian
X + a = b
1. A
, b ϵ R (diketahui)
2. –a
ϵ R (invers)
3. b
+ -a ϵ R (tertutup)
ambil x = b +-a
4. a
+ a = (+ - a) + a (menambah kedua ruas dengan a)
5. –(-a)
= a (dalil
5)
6. X
+ a = (b + -a) + -(-a) (substitusi)
7. (b
+ -a) + -(-a) = b (dalil 2)
8. X
+ a = b (transitif kesamaan)
Ini
menunjukkan bahwa b + -a adalah penyelesaian
dari persamaan x + a = b. Bagian terakhir dari bukti ini adalah
sifat ketunggalan.
Diasumsikan bahwa tetdapat dua bilangan
real x1 dan x2 dengan x1 ≠ x2 dan
X1 + a = b
X2 + a = b
1. X1,
x2, a ϵ R (diketahui)
2. X1
+ a= b (diketahui)
3. X2
+ a = b (diketahui)
13
4. X1
+ a = x2 + a (transitif
atau substitusi)
5. X1
= x2 (dalil
3)
Pernyataan terakhir bertentangan dengan
asumsi bahwa x1 ≠x2 , sehingga asumsinya adalaah salah, penyelesaian persamaan
x + a = b adalah tunggal.
Definisi
3. Selisih antara b dengan a, ditulis b – a , adalah
penyelesaian yang tunggal dari persamaan x + a = b. pengurangan adalah proses
untuk mendapatkan selisih.
Dalil
7 : jika a ϵ R , maka a – a = 0
Bukti
:
1. a
–a = a + -a (definisi pengurangan)
2. a
+ -a = 0 (invers)
3. a
– a = 0 (transitif kesamaan)
Dalil
8 : jika a ϵ R , maka 0 – a = -a
Pembuktian
Dalil
9 : jika a, b, c ϵ R, maka setiap dua pernyataaan
dibawah ini adalah sama
1. (a
+ b) + c 7. a + (b + c)
2. (a
+ c) + b 8. A + (c +b)
3. (b
+ a) + c 9. b + (a + c)
4. (b
+ c) + a 10. b + (c +
a)
5. (c
+ a) + b 11. C + (a +
b)
6. (c
+ b) + a 12. C + (b +
a)
Dengan sift assosiatip, 1 = 7, 2 = 8, 3
= 9, 4 = 10, 5 = 11, 6 = 12.
Denagn sifat komutatip, 1 = 3, 2=5, 4 =
6, 1 dan 2 dapat ditunjukkan sama dengan proses sebagai berikut:
(a + b) + c = a + (b +
c) (assosiatip)
a + ( b+ c) = a +(c +
b) (komutatip)
a + (c + b) = (a + c) +
b (assosiatip)
(a + b) + c = (a + c) +
b (transitif kesamaan)
Proses yang sama dapat
digunakan untuk pasangan-pasangan yang lain
14
Dalil 10:
jika a, b ϵR , maka –a + -b = -(a + b)
Bukti
:
1. a,
b ϵ R (diketahui)
2. –a,
-b ϵ R (invers)
3. a
+ b ϵ R dan (tertutup)
–a + -b ϵ R
4. –
(a +b) ϵ R (invers)
5. –a
+ a= 0 (invers)
6. –b
+ b = 0 (invers)
7. (-a
+a) + (-b + b) = 0+0 (penjumlahan 5 dan 6)
8. 0
+ 0 = 0 (identiyas)
9. (-a
+ a) + (-b + b = 0 (transitif kesamaan)
10. (-a + a) + ( -b + b) = (dalil
9)
(-a + -b) + (a + b)
11. (-a
+ -b) + (a + b) (substitusi)
12. –(a
+ b) + (a + b) = 0 (invers)
13. (-a
+ -b) + (a + b) = (substitusi)
–(a + b) + (b + a)
14. –a
+ -b = -(a + b) (dalil 3)
Dalil
11: jika a, b ϵ R, maka b – a = -(a –b)
Bukti:
1. a,
b ϵ R (diketahui)
2. –a,
-b, -(-b) ϵ R (invers)
3. b
– a = b + (-a) (definisi pengurangan)
4. b
= -(-b) (dalil 5)
5. b
– a = -(-b) + -a (substitusi)
6. –(-b)
+ -a = -a + -(-b) (komutatip)
7. b
– a = -a + -(-b) (transitif kesamaan)
15
8. –a
+ -(-b) = -(a+ -b) (dalil 10)
9. b
– a = -(a + -b) (transitif kesamaan)
10. a
+ -b = a – b (definisi penguraangan)
11. b
– a = -a(a – b) (substitusi)
2.3.
Perkalian Dan Pembagian Bilangan
Real
Postulat-postulat
yang berkaitan dengan perkalian bilangan real adalah:
1. a
. 0 ϵ R (postulat)
2. –(a
. 0) ϵ R (postulat)
3. 0
+ 0 = 0
(postulat)
4. a.
(0 + 0) = a.0 (dikalikan
dengan a )
5. a
(0 + 0 ) = (a . 0) + (a . 0) (postulat)
6. (a
. 0) + ( a . 0) = a . 0 (substitusi)
7. (a
. 0) + (a . 0) + - (a . 0) (postulat)
8. (a
. 0) + (a . 0) = a. 0 (substitusi)
9. (a
. 0) + (a . 0) + -(a . 0) (di tambah –(a . 0))
= -(a . 0) + -(a . 0)
10. (a
. -0)+ (a . 0) + -(a + 0) + (dalil 2)
–(a . 0)
= a . 0
11. a
. 0 = (a . 0) + -(a . 0) (substitusi)
12. (a
.0) + -(a . o) = 0 (postulat)
13. a
. 0 = 0 (transitif kesamaan)
dalil
13. Jika a, b ,cϵ R, maka a.(b –c) = (a . b) – (a . c)
bukti
:
1. ambil
x = b – c (definisi)
2. ax
= a(b – c) (dikalikan dengan a)
3. X
+ c = b (dari (1) dan definisi
selisih)
4. ax
+ ac =ab (distributive)
5. ax
= ab – ac (definisi selisih)
16
6. a(b-c)
= ab –ac (substitusi 2 pada 5)
dalil
14. Jika x, y ϵR , dan y ≠ 0, maka (x.y).
=
x
bukti:
1. x,
y ϵ R dan y ≠ 0 (diketahui)
2.
ϵ R (invers perkalian)
3. (x
. y)
=
x. (y .
) (assosiatip)
4. Y.
=
1 (invers perkalian)
5. (x
. y) .
=
x . 1 (substitusi)
6. X
. 1 = x (identitas perkalian)
7. (x
. y).
=
x (transitif kesamaan)
Dalil
15. Jika x, y, z ϵ R dan y ≠ 0 dan x . y =z .y, maka x =z
Bukti:
1. X,
y, z ϵ R dan y ≠ 0 (diketahui)
2.
ϵ R (invers perkalian)
3.
(diketahui)
4.
. Y (Diketahui)
5. X
= z (dalil 14 dan
substitusi)
Dalil
16. Jika a ϵ R dan a ≠ 0, maka
≠ 0
Bukti:
1.
=
0 (asumsi)
2.
=
a . 0 (dikalikan a)
3.
(dalil 12)
4.
=
0 (transitif kesamaan)
5.
=
1 (invers perkalian)
6.
(substitusi)
17
Pernyataan terakhir 1 =0 bertentangan
(kontradiksi) dengan postulat, sehingga asumsi
=
0 salah, dan
≠ 0
Dalil
17. Jika a ϵ R dan a≠ 0, maka(
=
a.
Bukti:
1. a
ϵ R dan a≠ 0 (diketahui)
2.
ϵ R dan
≠ 0 (invers perkalian dan dalil 16)
3. (
ϵ R (invers perkalian )
4.
=
1 (invers perkalian)
5.
=
1 (invers perkalian)
6.
.
=
a .
(substitusi)
7.
=
a (dalil 15)
Dalil
berikut dikenakan pada eksistensi dan ketunggalan dari penyelesaian persamaan
x
. a = b, dimana a, b
R
dan a
0.
Ini
adalah syarat perlu definisi pembagian sebagai invers perkalian.
Dalil
18.
Jika a, b
dan a
maka ada bilangan real x yang tunggal
sehingga x.a=b. bilangan itu adalah b.
.
Bukti : a. Tentang eksistensinya
Bukti : a. Tentang eksistensinya
1.
a,b
R dan a
0 (diketahui)
2.
R
dan
(invers perkalian dan
dalil 16)
3.
R
Ambil
x=b.
4.
x.a=(b.
) . a
(dikalikan
dengan a)
18
5.
(b.
) . a = (b.
) .
(substitusi menggunakan dalil 17)
6.
(b.
).a = b
(dalil 14)
7.
x . a = b
(transitif
kesamaan)
Ini
menunjukkan (b.
) adalah penyelesaian
b.
Tentang ketunggalannya
Di
asumsikan terdapat dua bilangan real x1 dan x2 dengan x1
x2
dan x1 . a = b dan x2 . a = b.
1. x1
. a = b (diketahui)
2. x2
. a = b. (diketahui)
3. x1
. a = x1 . a (substitusi)
4. a
(diketahui)
5. x1=
x2 (dalil
5)
Pernyataan x1= x2 bertentangan dengan asumsi x1
x2 , sehingga asumsinya salah, dan hanya
terdapat satu penyelesaian x.a = b
Definisi 4. koefisien
adalah b.
, adalah
penyelesaian yang tunggal dari x.a=b (dimana a
pebagian adalah proses untuk mendapatkan
koefisien).
Dalil 19. Jika
a ∈ R dan a
maka
=1
Bukti:
1.
= a.
. (definisi4)
2.
a.
.=1 (inverserkalian)
3.
=1 (dalil
19)
Dalil
20 . Jika a ∈
r dan a ≠ 0, maka
=
.
Bukti
: 1.
=
1 .
(definisi
4)
19
2. 1 .
=
(identitas
perkalian)
3.
=
(dalil
20)
Dalil 21. Jika a, b, c ∈ R, maka sebarang dari
dua pernyataan dari daftar berikut ini adalah sama.
1. (a
. b) . c 7. a . (b . c)
2. (a
. c) . b 8. a . (c . b)
3. (b
. a) . c 9. b . (a . c)
4. (b
. c) . a 10. b
. (c . a)
5. (c
. a) . b 11. c
. (a . b)
6. (c
. b) . a 12. c
. (b . a)
Bukti
dari dalil di atas tergantung pada sifat komutatif dan asosiatif perkalian.
Buktikan
!
Dalil
23. Jika
a, b ∈ R, a ≠ 0 dan b ≠ 0,
maka
= (
.
Buktikan
!
Dalil
24. Jika
a, b ∈ R dan a . b = 0, maka
a = 0 dan atau b = 0.
Bukti
: Asumsikan a ≠ 0 dan b ≠ 0
1. a,
b ∈ R dan b ≠ 0 (asumsi)
2.
∈ R (invers perkalian)
3.
(dalil 24)
4.
(substitusi)
20
5.
=
0 (dalil12)
6. (a
. b) .
=
0 (transitif kesamaan)
7. (a
. b) .
=
a (invers perkalian)
8. a
= 0 (substitusi)
Pernyataan a = 0 bertentangan dengan
asumsi a ≠ 0, sehingga asumsi a ≠ 0 dan
b ≠ 0 adalah salah,
berarti a = 0 dan atau b = 0.
Dalil
25. Jika
a,b, c ∈ R, maka (b + c) . a =
(b . a) + (c . a).
Buktikan
!
6.4 Perkalian dan Pembagian Tentang Invers
Penjumlahan Bilangan Real
Dalil
26.
Jika a, b ∈ R, maka a . (-b) = -
(a . b).
Bukti
: 1. – b = 0 – b (dalil
8)
2. a . (-b) = a . (0 – b) (dikalikan
dengan a)
3. a (0 – b) = (a . 0) – (a . b) (dalil 13)
4. a . (-b) = (a . 0) – (a . b) (transitif
kesamaan)
5. a . 0 = 0 (dalil
12)
6. 0 – (a . b) = - (a . b) (substitusi)
7. 0 – (a . b) = - (a . b) (dalil 8)
8. a. (-b) = -a (a. b) (transitif kesamaan)
Dalil
27. Jika
a, b ∈ R, maka (-a) . b = -
(a . b).
Buktikan !
Dalil
28. Jika
a, b ∈ R, maka (-a) . (-b) =
a .b .
21
Bukti
: 1.
(-a) . (-b) = - [a . (-b)] (dalil
27)
2. a . (-b) = - (a . b) (dalil
26)
3. (-a) . (-b) = - [- (a . b)] (substitusi)
4. – [- (a . b)] = a . b (dalil
5)
5.(-a) (-b) = a. b (transitif kesamaan)
Dalil
29. Jika
a ∈ R dan a ≠ 0, maka
=
-
.
Bukti
: 1.
a ∈ R dan a ≠ 0 (diketahui)
2. –a ≠ 0 (dalil
4)
3. [-
] . (-a) =
. a (dalil
28)
4.
.
a = 1 (invers
perkalian)
5. [- (-
)] . (-a) = 1 (transitif kesamaan)
6.
.
(a) = 1 (invers
perkalian)
7. [-
] . (-a) =
.
(-a) (substitusi)
8. – (
=
(
(dalil 15).
Dalil
30. Jika a, b ∈
R dan b ≠ 0, maka
=
- (
).
Bukti
: 1.
=
(definisi
4)
2.
=
-
(transitifkesamaan)
3.
=
(definisi
4)
22
4.
=
(definisi
4)
5.
=
(definisi
4)
6.
=
(definisi 4)
7.
=
-
(dalil
30)
Dalil
31. Jika
a, b ∈
R dan b ≠ 0, maka
=
.
Bukti
: 1)
=
(definisi
4)
2)
=
(transitifkesamaan)
3)
=
(definisi 4)
4)
=
(definisi
4)
5)
=
(definisi 4)
Dalil
32. Jika a, b ∈
R dan b ≠ 0, maka
=
.
Buktikan ! 1.
=
-a .
(definisi
4)
2.(-a) .
=
(a .
) (transitif
kesamaan)
3.(
) = a .
(definisi
4)
23
4.a
.
=
(definisi 4)
5.
= a
.
(definisi 4)
6.5 Urutan Dan Harga Mutlak Bilangan Real.
Beberapa
postulat pada bilangan real yang berkaitan dengan relasi urutan adalah relasi
“>”, yaitu:
1. Postulat
12 (transitif urutan)
2. Postulat 13 (trikotomi)
3. Postulat
14
4. Postulat
15
Postulat
14 dapat dipikirkan sebagai “penjumlahan ketidaksamaan”; dan postulat 15 dapat
dipikirkan sebagai “perkalian ketidaksamaan”.
Selain relasi “>”
terdapat relasi-relasi “<”, “≤” dan “≥”, yang dapat dijelaskan sebagai
berikut:
a
< b artinya b > a
a
≤ b artinya b > a atau b = a
a
≥ b artinya a > b atau a = b
a
< x < b artinya x > a dan b > x
a
≤ x ≤ b artinya x > a atau x = a dan b > x atau b = x.
terdapat
himpunan-himpunan bagian tertentu dari himpunan bilangan real yang disebut
bilangan real positif dan bilangan real
negatif.
Definisi 5. Jika a ∈
R dan a > 0, maka a dikatakan positif.
Jika a ∈
R dan 0 > a, maka a dikatakan negatif.
24
Dalil 33.
Jika a ∈
R, maka terdapat satu hubungan di antara hubungan-hubungan :
a > 0, a = 0, atau a
< 0.
Buktikan : (menurut definisi positif dan negatif dan
sifat trikotomi).
Dalil 34 : Jika a, b ∈
R dan a > b, maka ada bilangan real x yang tunggal sehingga
x + b =a.
Eksistensi
dan ketunggalan dari x dapat dilihat pada dalil 6. Di sini akan ditunjukkan
bahwa
x
= a + -b adalah positif.
Bukti :
1. a > b (diketahui)
2. a + (-b) > b +
(-b) (postulat)
3. b + (-b) = 0 (invers penjumlahan)
4. a + (-b) > 0 (substitusi)
5. a + (-b) adalah
positif (definisi
positif)
Dalil 35. Jika a, b, x ∈
R, a = x + b dan x >0, maka a > b.
Bukti : 1. x > 0 (diketahui)
2. a + x = b (diketahui)
3. x + a > 0 + (x +b) (postulat)
4. 0 + (x +b) = x +b (identitas
penjumlahan)
5. x +a > x +b (substitusi)
6. a + x > b + x (substitusi
menggunakan postulat)
25
7. (a+x) + (-x) > (b
+ x) + (-x) (postulat)
8. a > b (substitusi
menggunakan dalil 2)
Dalil 36. Jika a, b, ∈
R, a > 0 dan b > 0, maka (a + b) > 0 dan (a . b) > 0.
Bukti : 1. a > 0 (diketahui)
2. a + b > 0 + b (postulat)
3. a + b > b (substitusi
menggunakan postulat)
4. b > 0 (diketahui)
5. a + b > 0 (transitif
urutan)
(bagian
pertama dari kesimpulan)
6. a . b > 0 . b (postulat/perkalian
pernyataan (1) dengan (b)).
7. 0 . b = 0 (dalil
12)
8. a . b > 0 (substitusi)
(bagian kedua dari kesimpulan)
Dalil
37. a)
Jika a ∈
R dan a > 0, maka 0 > -a
b) Jika a ∈ R dan 0 > a, maka
–a > 0
Bukti
: a) 1. a > 0 (diketahui)
2.
0 = a + -a (invers
penjumlahan)
3.
0 > -a (dalil
35)
b) 1. 0 > a (diketahui)
2.
0 + -a > a + a (postulat)
26
3.
a + a = 0 (invers
penjumlahan)
4.
0 + -a > 0 (substitusi)
5.
0 + -a = -a (invers
penjumlahan)
6.
–a > 0 (substitusi)
Definisi
6. Jika a ∈
R dan n adalah bilangan asli, maka :
=a
. a . a . a . . . a
n faktor
Dalil
38. Jika a ∈
R dan a ≠ 0, maka
> 0.
Buktikan
!
Dalil
39. 1 > 0
Buktikan
!
Dalil
40. Jika a ∈
R dan a > 0, maka
> 0.
Bukti
: Diasumsikan
=
0 atao 0 >
.
Jika
=
0, maka 1 = a .
=
a . 0 = 0, bertentangan dengan dalil 39, sehingga asumsi
=
0 salah.
Jika
0 >
, maka
.
a bertanda negatif karena salah satu factor bertanda negatif (yaitu
).
Menurut
dalil 39,
.
a = 1 > 0 (positif), sehingga terdapat kontradiksi. Asumsi 0 >
adalah salah.
Jadi
> 0.
Dalil
41. Jika a ∈ R dan 0 > a, maka 0 > a
27
Buktikan
!
Dalil
42. Jika a,b,c,d ∈
R, a > b dan c > d,maka a+c > b+d.
Bukti
: a > b, maka a+ c > b + c
c > d, maka b + c > b + d
Menurut sifat transitif relasi urutan, a +
c > b + d
Dalil
43. Jika a,b,c ∈
R, a > b dan 0 > c, maka b . c > a . c
Bukti: a > b, maka a – b > 0
0 > c, maka –c > 0
Menurut postulat, (a – b) (-c) > 0
-ac + bc > 0
( -ac + bc ) + ac > ac.
Bc > ac.
Dalil
44. Jika
a,b,c,d ∈
R, a > b, c > d, b > 0 dan d > 0, maka a . c > b . d.
Bukti: Karena c > d, tentu ada bilangan real positif p
sehingga c = p + d
A > b, dan c = p + d, maka ac > bp +
pd.
Karena b, p dan d adalah positif , bpd an bd
adalah positif
Sehingga bp + bd > bd.
Menurut sifat transitif urutan, ac> bd.
sDefinisi
7. /x/ =
x jika x ≥ 0 ; /x/ = -x jika 0 > x.
28
/x/
disebut nilai mutlak dari x.
Dalil
45. A
> 0 dan /x/ > a jika dan hanya jika a ≤ x ≤ a.
Bukti
: a) /x/ ≤ a, maka menurut dalil 43,
-a ≤ - /x/
Menurut
definisi nilai mutlak, x = /x/ atau x = -/x/ sehingga -/x/≤ x ≤ /x/. Menurut sifat transitif relasi
urutan dan sifat kesamaan –a ≤ x ≤ a.
b) Jika x ≥ 0, maka x = /x/
-a
≤ x ≤ a, maka –a ≤ /x/ ≤ a, sehingga /x/ ≤ a.
Jika x < 0, maka x = - /x/.
-a
≤ x ≤ a, maka –a ≤ - /x/ ≤ a, sehingga –a ≤ - /x/ atau /x/ < a.
Dalil
46. Jika
x, y, ∈
R, maka /a + y/ ≤ /x/ + /y/.
Bukti
: -
/x/ ≤ x ≤ /x/ dan - /y/ ≤ y ≤ /y/.
Jika dijumlahkan akan terdapat:
-(/x/ + /y/) ≤ x + y ≤ (/x/ + /y/)
Menurut dalil 45, karena /x/ +/y/ ≥ 0, /x +
y/ ≤ /x/ + /y/.
Dalil
47. Jika
x, y ∈
R, x > 0 dan y > 0 dan
=
, maka x = y.
Bukti
: Diasumsikan
x ≠ y, maka x < y atau x > y.
Jika x > y maka menurut dalil 44,
>
Jika y > x maka menurut dalil 44,
>
Karena
>
dan
>
bertentangan dengan yang diketahui
=
asumsi
x ≠ y salah.
Jadi
x = y adalah benar.
29
Dalil
48. Jika x, y ∈
R, x > 0, dan
>
, maka x < y.
Bukti
: Asumsikan bahwa x > y adalah
salah, maka x < y atau x + y.
Jika x < y, maka
<
.
Jika x = y, maka
=
.
<
dan
=
bertentangan dengan yang diketahui
>
, sehingga asumsi yang diambil salah.
Jadi
x > y adalah benar.
Dalil
49. ( dalil archimedees )
jika a,b
r, a
0,
b
0,
maka
n
{ bilangan asli } sehingga n a
b
Bukti
: asumsikan bahwa titik pada n
{ bilangan asli } sehingga n a
,
maka setiap elemen pada S = ( n
{
bilangan asli } ) kurang dari atau sama dengan b. jadi b adalah batas atas dari
himpunan S sebab n a
b untuk setiap n
{
bilangan asli } himpunan S tidak kosong, maka untuk mempunyai batas atas
terkecil dalam r misalnya c, sehingga n a
cuntuk setiap n
{
bilangan asli }. dan juga :
( n+1) a
c
n a + a
c
n a
c
– a untuk semua n bilangan asli. Ini berarti bahwa c- a adalah batas atas ,
sedangkan c- a
c
dimana c adalah atas atas terkecil dari S. karena terdapat kontradiksi, asumsi
yang di ambil salah jaidi n a
.
Garis
Bilangan Real
di
dalam bab sebelumya, kita bicarakan banyak barang bilangan rasional pada garis
bilangan. Perlu di catat bahwa bilangan rasional bersifat dense, artinya bahwa
untuk sembarang dua fisik
30
pada
garis bilangan terdapat bilangan rasional, diantara keduanya. Kelihatannya bilangan
rasional ‘ mengisi ‘. Seluruh titik pada garis bilangan hal ini tidak benar. Sesungguhnya,
kita dapat menunjukkan bahwa bilangan irasional dapat juga dinyatakan sebagai
titik pada garis bilangan. bilangan rasional diantara x dan y, sehingga
bilangan real dense. Secara intuitif, kita sudah mengkaitkan setiap titik pada
garis bilangan dengan bilangan real. Sebagai hasilnya kita menerima kenyataan
bahwa :
“Ada bilangan real yang dapat di kaitkan dengan setiap titik pada garis bilangan, dan sebaliknya setiap bilangan real menentukan sebuah titik pada garis bilangan”
31
BAB
3
PENUTUP
Kesimpulan :
1.
Desimal
adalah koma yang di letakkan setelah angka satuan di sebelah kanan yang
menyatakan persepuluhan , perseratusan dan seterusnya.
a.
Desimal
Berulang adalah Desimal yang akhirnya berulang terus.
b.
Desimal
tak berakhir adalah Desimal yang tak berakhir.
c.
Desimal
yang terbatas atau sisa nol tidak pernah
di peroleh.
2.
Penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan rasional dapat diperluas dengan
mudah untuk desimal pecahan. Sifat-sifat
komutatip, assosiatip, dan distributip memungkinkan
menjalankan/mengerjakan aritmetika desimal.
3.
Pernyataan
desimal dari semua bilangan rasional positif dapat diperluas ke bilangan
rasional negatif.
4.
Setiap
bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai desimal yang berakhir (terminal)
atau desimal berulang. Ini berarti bahwa suatu bilangan dalam bentuk desimal
tidak berulang, tentunya menyatakan bilangan yang tidak rasional. Desimal yang
demikian disebut Bilangan Irasional.
5.
Beberapa
sifat bilangan real dikembangkan menjadi sistim yang deduktif. Karena bilangan
real merupakan perluasan dari bilangan rasional, semua sifat dalam sistim
bilangan rasional harus dipenuhi dalam bilangan real.
32
Tidak ada komentar:
Posting Komentar