LINGKARAN

PENGERTIAN LINGKARAN

Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

A.    Unsur-Unsur Lingkaran

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Elemen lingkaran

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:

1.      Titik pusat (P)

merupakan sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.

2.      Cakram (C)

merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

3.      Jari-Jari (r)

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran.

4.      Diameter (d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. nilai diameter merupakan dua kali nilai jari-jarinya, ditulis bahwa d = 2r

5.      Busur

Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut.

6.      Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran O.

7.      Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur.

8.      Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut..

9.      Apotema

Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur.

Persamaan Lingkaran

Suatu lingkaran memiliki persamaan ( x - x₀ )² + ( y - y₀ )² = r²  dengan r adalah jari-jari lingkaran dan ( x₀ , y₀ ) adalah koordinat pusat lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu : x = x₀ + r cos(t) dan y = y₀ + r sin(t) yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus : A = πr²

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran dalam koordinat polar, yaitu :

Dengan  cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran.

Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari r dan θ, yaitu;

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam r₁ dan jari-jari luar , r₂ yaitu :                                di mana untuk r₁ = 0 rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh dari :

 

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus :yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva :

di mana digunakan                              sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda ± mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

Pi atau π

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling (k) dengan diameternya (d) yaitu :

Simbol Pi, π. π adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara Yunani yang dibaca pi dan pi juga bisa dipakai dalam penulisan.

Nilai π yang lazim digunakan adalah 3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai π sampai 10 tempat desimal adalah 3,14159265358.

 

 

Rumus dengan π

Bentuk	Rumus
Keliling lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d
Luas lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d
Volume bola dengan jari-jari r
Luas permukaan bola dengan jari-jari r
Volume silinder setinggi h dan berjari-jari r
Luas permukaan silinder setinggi h dan berjari - jari r
Volume kerucut setinggi h dan berjari-jari r
Luas permukaan kerucut setinggi h dan berjari-jari r

Asal -usul Rumus keliling Lingkaran

Sudut 1 rad: Satu radian atau 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran berjari-jari 1 meter dan membentuk busur sepanjang juga 1 meter. Atau dalam gambar di atas r = b = 1 meter.

Dari gambar di atas di dapatkan data sebagai berikut:

r = 1 meter, k = 1 meter, θ = 1 radian

Dengan,

r = jari- jari lingkaran, K = panjang busur lingkaran / keliling lingkaran

θ = sudut ( satuan = radian / rad ) Jadi, panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, apabila besarnya sudut telah dalam satuan radian.

Bukti : ( Dengan data yang diambil dari gambar di atas)

k = θ r = 1 rad . 1 meter

k = 1 meter

Dengan 1 rad = 57,2957795131º

1 lingkaran = 360º

Dapat disimpulkan bahwa,

1 lingkaran = 360º/57,3 = 6,283185308 rad ≡ 6,3 rad

Sedangkan  6,3 rad= 2 π

Berarti sudut 1 lingkaran = 2 π

Jadi, Dengan data yang sudah ada yaitu sudut 1 lingkaran =2 π, dan berdasarkan kesimpulan pertama yang didapat, yaitu panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, maka,

K= θ. R

K= 2π . r

ELIPS

Secara geometri, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik – titik dalam bidang yang jumlah jarak dari dua titiknya konstan. Suatu elips punya dua sumbu simetri, yaitu sumbu – sumbu utama ( sumbu panjang ) dan sumbu minor ( sumbu pendek ). Titik potong sumbu – sumbu tersebut disebut titik pusat elips.

Bentuk umum persamaan elips, adalah :

          ax² + by² + cx +dy + e = 0

dimana a ≠ b, a dan b mempunyai tanda yang sama, tapi tidak sama besar.

Persamaan Elips

Elips memiliki persamaan sebagai berikut :

·         Elips horizontal denganpusat (0, 0) adalah :

·         Elips vertical dengan pusat (0, 0) adalah :

·         Elips horizontal dengan pusat (α, β) adalah :

 

·         Elips vertical dengan pusat (α, β) adalah :

 

Dengan ketentuan yaitu :

1.      Panjangsumbu mayor = 2a

2.      Panjangsumbu minor = 2b

3.      a> b

4.      a² = b² + c²

5.      c = Jarakpusatkefokus